Question

 如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过点C.已知AB=3 m,AD=2 m.

(1) 要使矩形AMPN的面积大于32 m2,则AN的长应在什么范围内?

(2) 当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.

(3) 若AN的长度不少于6 m,则当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.

Answer 1

 (1) 设AN=x m(x>2),则ND=x-2.

因为=,即=,所以AM=.

因为·x>32,所以3x2-32x+64>0,即(3x-8)(x-8)>0,

所以2<x<或x>8.

即满足题意的AN的取值范围为∪(8,+∞).

(2) S矩形AMPN=

=

=3(x-2)++12

≥2+12=24,

当且仅当x=4时取等号,即当AN=4m时,矩形AMPN的面积最小,最小面积为24 m2.

 (3) 因为S矩形AMPN=3(x-2)++12(x≥6),

令x-2=t(t≥4),则f(t)=3t++12.

因为f'(t)=3-,当t≥4时,f'(t)>0,

所以f(t)=3t++12在[4,+∞)上单调递增,

所以f(t)min=f(4)=27,此时x=6.

故当AN的长度是6 m时,矩形AMPN的面积最小,最小面积为27 m2.