Question

1．已知函数f（x）=xlnx-mx的图象与直线y=-1相切．
（Ⅰ）求m的值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）=ax³，设h（x）=f（x）-g（x），讨论函数h（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的几何意义，从而可求m的值和函数的单调区间；
（Ⅱ）构造函数，利用导数，求出函数的最值，再分类讨论即可得到函数零点的个数

解答 解：（ I）设f（x）的图象与直线y=-1相切于点（x₀，-1），（x₀＞0），
f′（x）=lnx+1-m，（x＞0）
则$\left\{{\begin{array}{l}{{f^'}（{x_0}）=0}\\{f（{x_0}）=-1}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{ln{x_0}+1-m=0}\\{{x_0}ln{x_0}-m{x_0}=-1}\end{array}}\right.$
解得：x₀=1，m=1，
由f′（x）=lnx＞0得x＞1；f′（x）=lnx＜0得0＜x＜1；
所以函数f（x）的单调减区间为（0，1）；增区间为（1，+∞），
（ II）h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x-ax³=x（lnx-1-ax²）（x＞0）．
由h（x）=0得$lnx-1-a{x^2}=0即a=\frac{lnx-1}{x^2}$；
∴$函数h（x）的零点个数即为函数y=a与y=\frac{lnx-1}{x^2}的图象的交点个数$．
记函数$r（x）=\frac{lnx-1}{x^2}$，
${r^'}（x）=\frac{x-2x（lnx-1）}{x^4}=\frac{3-2lnx}{x^3}$
由r′（x）＞0得$0＜x＜{e^{\frac{3}{2}}}$；r′（x）＜0得$x＞{e^{\frac{3}{2}}}$，
∴r（x）在$（0，{e^{\frac{3}{2}}}）$上单调递增；在$（{e^{\frac{3}{2}}}，+∞）$上单调递减，
∴$r{（x）_{max}}=r（{e^{\frac{3}{2}}}）=\frac{1}{{2{e^3}}}$，
又$x∈（{e^{\frac{3}{2}}}，+∞）$时，r（x）＞0；x∈（0，e）时，r（x）＜0；且x趋向于0时r（x）趋向于负无穷大．
∴当a＞$\frac{1}{2{e}^{3}}$时，y=a与y=r（x）的图象无交点，函数h（x）无零点； 
当a≤0或a=$\frac{1}{2{e}^{3}}$时，y=a与y=r（x）的图象恰有一个交点，函数h（x）恰有一个零点；
 当0＜a＜$\frac{1}{2{e}^{3}}$时，y=a与y=r（x）的图象恰有两个交点，函数h（x）恰有两个个零点．

点评 本题考查了导数与函数的单调性的关系，函数最值的求法，函数零点个数的判断，属于中档题．