Question

在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（-2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程为y-1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y-1=k（x+2）中取y=0得到x0=-

2k+1

k

．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x₀＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即

(x-1)2+y2

=|x|+1，
化简得，y²=2|x|+2x．
∴点M的轨迹C的方程为y2=

4x，x≥0 0，x＜0

；
（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C₁：y²=4x（x≥0），C₂：y=0（x＜0）．
依题意，可设直线l的方程为y-1=k（x+2）．
由方程组

y-1=k(x+2) y2=4x

，可得ky²-4y+4（2k+1）=0．
①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得x=

1

4

．
故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（

1

4

，1）．
②当k≠0时，方程ky²-4y+4（2k+1）=0的判别式为△=-16（2k²+k-1）．
设直线l与x轴的交点为（x₀，0），
则由y-1=k（x+2），取y=0得x0=-

2k+1

k

．
若

△=-16(2k2+k-1)＜0 x0=- 2k+1 k ＜0

，解得k＜-1或k＞

1

2

．
即当k∈(-∞，-1)∪(

1

2

，+∞)时，直线l与C₁没有公共点，与C₂有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
若

△=0 x0＜0

或

△＞0 x0≥0

，解得k=-1或k=

1

2

或-

1

2

≤k＜0．
即当k=-1或k=

1

2

时，直线l与C₁只有一个公共点，与C₂有一个公共点．
当-

1

2

≤k＜0时，直线l与C₁有两个公共点，与C₂无公共点．
故当k=-1或k=

1

2

或-

1

2

≤k＜0时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
若

△=-16(2k2+k-1)＞0 x0=- 2k+1 k ＜0

，解得-1＜k＜-

1

2

或0＜k＜

1

2

．
即当-1＜k＜-

1

2

或0＜k＜

1

2

时，直线l与C₁有两个公共点，与C₂有一个公共点．
此时直线l与C恰有三个公共点．
综上，当k∈(-∞，-1)∪(

1

2

，+∞)∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；
当k∈[-

1

2

，0)∪{-1，

1

2

}时，直线l与C恰有两个公共点；
当k∈(-1，-

1

2

)∪(0，

1

2

)时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．

点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．