Question

设常数a≥0，函数f（x）=

2x+a

2x-a

．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

考点：反函数,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据反函数的定义，即可求出，
（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．

解答： 解：（1）∵a=4，
∴f(x)=

2x+4

2x-4

=y
∴2x=

4y+4

y-1

，
∴x=log2

4y+4

y-1

，
∴调换x，y的位置可得y=f-1(x)=log2

4x+4

x-1

，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（-x）对任意x均成立，
∴

2x+a

2x-a

=

2-x+a

2-x-a

，整理可得a（2^x-2^-x）=0．
∵2^x-2^-x不恒为0，
∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；
若f（x）为奇函数，则f（x）=-f（-x）对任意x均成立，
∴

2x+a

2x-a

=-

2-x+a

2-x-a

，整理可得a²-1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此时f（x）=

2x+1

2x-1

，x≠0，满足条件；
综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．

点评：本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．