Question

等差数列{α_n}的前n项和S_n=

π

36

n²，数列{β_n}满足β_n=

(7-2n)π

36

．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：
①sin²α₁+cos²β₁-sinα₁cosβ₁=m； ②sin²α₂+cos²β₂-sinα₂cosβ₂=m；
③sin²α₃+cos²β₃-sinα₃cosβ₃=m；④sin²α₄+cos²β₄-sinα₄cosβ₄=m；
⑤sin²α₅+cos²β₅-sinα₅cosβ₅=m；⑥sin²α₆+cos²β₆-sinα₆cosβ₆=m．
（Ⅰ）求数列{α_n}的通项公式；
（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m的值；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,归纳推理

专题：三角函数的求值,推理和证明

分析：（Ⅰ）利用等差数列{α_n}的前n项和S_n=

π

36

n²，分n=1与n≥2讨论，即可求得数列{α_n}的通项公式；
（Ⅱ）选择②，计算即可；
（Ⅲ）利用两角差的余弦将所求关系式中的cos²（

π

6

-θ）及cos（

π

6

-θ）展开，利用平方关系计算即可证得结论成立．

解答： （Ⅰ）解：当n=1时，α₁=

π

36

…（1分）
当n≥2时，α_n=S_n-S_n-1=

π

36

n²-

π

36

（n-1）²=

π

18

n-

π

36

…（3分）
∵当n=1时，a₁适合此式∴数列{α_n}的通项公式为a_n=

π

18

n-

π

36

…（5分）
（Ⅱ）解：选择②，计算如下：β₂=

π

12

…（6分）
m=sin²α₂+cos²β₂-sinα₂cosβ₂
=sin²

π

12

+cos²

π

12

-sin

π

12

cos

π

12

=1-

1

2

sin

π

6

=

3

4

…（8分）
（Ⅲ）证明：sin²θ+cos²（

π

6

-θ）-sinθcos（

π

6

-θ）…（9分）
=sin²θ+（cos

π

6

cosθ+sin

π

6

sinθ）²-sinθ（cos

π

6

cosθ+sin

π

6

sinθ）…（10分）
=sin²θ+

3

4

cos²θ+

1

4

sin²θ+

3

2

sinθcosθ-

3

2

sinθcosθ-

1

2

sin²θ…（11分）
=

3

4

cos²θ+

3

4

sin²θ=

3

4

…（12分）

点评：本题考查归纳推理，着重考查三角函数的化简求值，考查运算与推理证明能力，属于难题．