Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

sinA

sinB+sinC

=

b-c

a-c

．
（1）求角B；
（2）求sinA•cosC的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）运用正弦定理和余弦定理，即可得到B；
（2）运用内角和定理可得C，再由二倍角公式和两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理，

sinA

sinB+sinC

=

b-c

a-c

即为

a

b+c

=

b-c

a-c

，
化简得：b²-c²=a²-ac即a²+c²-b²=ac，
由余弦定理可得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

．                 
由0＜B＜π，则B=

π

3

；                                  
（Ⅱ）由于A+C=

2π

3

，则sinAcosC=sinAcos（

2π

3

-A）
=sinA（-

1

2

cosA+

3

2

sinA），
=-

1

4

sin2A+

3

4

（1-cos2A），
=

3

4

-

1

2

sin（2A+

π

3

），
由B=

π

3

可知 0＜A＜

2π

3

，
所以

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
故-1≤sin（2A+

π

3

）≤1，
则

3

4

-

1

2

≤

3

4

-

1

2

sin（2A+

π

3

）≤

3

4

+

1

2

，
所以

3

4

-

1

2

≤sinAcosC≤

3

4

+

1

2

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．