Question

已知向量

a

=（2sinx，sinx），

b

=（sinx，2

3

cosx），函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=bcosC+ccosB，若对任意满足条件的A，不等式f（A）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算、两角和差、倍角公式、正弦函数的单调递增区间即可得出；
（II）由正弦定理、三角形的内角和定理、正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）函数f（x）=

a

•

b

=2sin2x+2

3

sinxcosx=

3

sin2x-cos2x+1
=2sin(2x-

π

6

)+1．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（II）∵2acosB=bcosC+ccosB，
由正弦定理可得：2cosBsinA=sinBcosC+cosBsinC，
∴2cosBsinA=sin（B+C）=sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0．
∴cosB=

1

2

．
又0＜B＜π．
∴B=

π

3

．∴0＜A＜

2π

3

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，∴-

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1，0＜2sin(2A-

π

6

)+1≤3．
∴f（A）=2sin(2A-

π

6

)+1的值域为（0，3]．
不等式f（A）+m＞0恒成立，∴m＞-f（A）恒成立，
∵-f（A）＜0恒成立，
∴m≥0，m的取值范围是[0，+∞）．

点评：本题主要考查了两角和差、倍角公式，考查了数量积的运算、三角函数的单调性、正弦余弦定理的应用，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．