Question

已知函数f（x）=log_a（x+2）-log_a（2-x），a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）若0＜a＜1，解关于x的不等式f（a^4x-1-2）＞0．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求解

x+2＞0 2-x＞0

，-2＜x＜2，得出解集．（2）f（x）奇偶性的定义判断为奇函数，（3）先求解f（x）＞0的解集，再整体把a^4x-1-2代入得-2＜a^4x-1-2＜0，即0＜a^4x-1＜2，x＞

1

4

+

1

4

log

2 a

，得出所求解集．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log_a（x+2）-log_a（2-x），a＞0且a≠1，
∴

x+2＞0 2-x＞0

，-2＜x＜2，
即函数f（x）的定义域（-2，2），
（2）f（x）=log

2+x 2-x a

，
∵f（-x）=log

2-x 2+x a

=-log

2+x 2-x a

=-f（x）
∴f（-x）=-f（x），
即f（x）的奇函数，
（3）∵f（x）＞0，
∴log_a（x+2）＞log_a（2-x），
当0＜a＜1时，x+2＜2-x，即x＜0，
因为：定义域（-2，2）所以：-2＜x＜0，
解关于x的不等式f（a^4x-1-2）＞0．
-2＜a^4x-1-2＜0，即0＜a^4x-1＜2，x＞

1

4

+

1

4

log

2 a

，
所以关于x的不等式f（a^4x-1-2）＞0解集为：（

1

4

+

1

4

log

2 a

，+∞）．

点评：本题综合考查了函数的性质，运用证明，求解不等式的解集，考查了转化的思想方法．