Question

设数列{x_n}满足log_ax_n+1=1+log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），且x₁+x₂+…+x₁₀₀=100，x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀=100×2⁵⁰，则x₂₀₁+x₂₀₂+…+x₃₀₀的值为（　　）

• A、100×2⁵⁰
• B、100×2¹⁰⁰
• C、100×（

  1

  2

  ）⁵⁰
• D、100×（

  1

  2

  ）¹⁰⁰

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：先根据递推公式和对数的运算性质，证明出数列是一个等比数列，再由等比数列的性质和数列前100项的和求出式子的值．

解答： 解：∵log_ax_n+1=1+log_ax_n，
∴log_ax_n+1-log_ax_n=1，
∴log_a

xn-1

xn

=1，则

xn-1

xn

=a，
∴数列{x_n}是以a为公比的等比数列，
∵x₁+x₂+…+x₁₀₀=100，x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀=100×2⁵⁰，
∴x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀=a¹⁰⁰x₁+a¹⁰⁰x₂+…a¹⁰⁰x₁₀₀
=a¹⁰⁰（x₁+x₂+…+x₁₀₀）=100a¹⁰⁰=100×2⁵⁰，
∴a=

2

，
∴x₂₀₁+x₂₀₂+…+x₃₀₀=a²⁰⁰x₁+a²⁰⁰x₂+…a²⁰⁰x₁₀₀=a²⁰⁰（x₁+x₂+…+x₁₀₀）=100a²⁰⁰=100×2¹⁰⁰
故选：B

点评：本题考查数列之和的对数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列前n项和公式的合理运用．