Question

已知函数f（x）=ax²-（a+3）x+b（a≥0，b＞0），函数g（x）=lg（12-x²+4x）的定义域为B．
（1）若b=2a+1，解关于a的不等式f（-1）＞8；
（2）若b=3时，关于x的不等式f（x）＜0的解集为A，且A?B，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）的一个零点在（1，2）内，一个零点在（2，3）内，求a-b的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数零点的判定定理

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）若b=2a+1，关于a的不等式即 a+（a+3）+2a+1＞8，由此求得a的范围．
（2）由函数g（x）的解析式求得它的定义域B=（-2，6），解关于x的不等式f（x）＜0，分类讨论求得A，再结合A?B，求得a的范围．
（3）若函数f（x）的一个零点在（1，2）内，一个零点在（2，3）内，则由二次函数的性质可得

a＞0 f(1)=-3+b＞0 f(2)=2a+b-6＜0 f(3)=6a+b-9＞0

，画出可行域，求出目标函数z=a-b的最优解，可得a-b的取值范围．

解答： 解：（1）若b=2a+1，关于a的不等式f（-1）＞8，
即 a+（a+3）+2a+1＞8，求得a＞1．
（2）由函数g（x）=lg（12-x²+4x），可得 12-x²+4x＞0，
求得-2＜x＜6，故B=（-2，6）．
∵b=3，关于x的不等式f（x）＜0，即 ax²-（a+3）x+3＜0，即 （ax-3）（x-1）＜0．
①当a=0时，求得A={x|x＞1}，不满足A?B．
②当0＜a＜3时，

3

a

＞1，此时，A=（1，

3

a

），
由A?B，可得

3

a

≤6，求得 a≥

1

2

．
综合可得，

1

2

≤a＜3．
③当a=3时，

3

a

=1，此时，A=∅，满足A?B．
④当a＞3时，0＜

3

a

＜1，此时A=（

3

a

，1），满足A?B．
综合①②③④可得 a≥

1

2

．
（3）若函数f（x）的一个零点在（1，2）内，一个零点在（2，3）内，则由二次函数的性质可得

a＞0 f(1)=-3+b＞0 f(2)=2a+b-6＜0 f(3)=6a+b-9＞0

，
画出可行域，如图所示：△ABC的内部区域，故当直线z=a-b经过点C（

3

4

，

9

2

）时，z=a-b取得最小值为-

15

4

，
当直线z=a-b经过点B（

3

2

，3）时，z=a-b取得最大值为-

3

2

，
故a-b的取值范围（-

15

4

，-

3

2

）．

点评：本题主要考查对数不等式的解法，集合间的包含关系，函数零点的判定定理，以及简单的线性规划问题，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．