题目内容
设已知A、B为抛物线y2=2px（p＞0）上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，给出下列命题：
（1）y轴上存在一点K，使得
•
=0；
（2）
•
=0；
（3）存在实数λ使得
=λ
；
（4）若线段AB中点P在准线上的射影为T，有
•
=0．
其中真命题的个数为（ ）
（1）y轴上存在一点K，使得
| KA |
| KF |
（2）
| CF |
| DF |
（3）存在实数λ使得
| AD |
| AO |
（4）若线段AB中点P在准线上的射影为T，有
| FT |
| AB |
其中真命题的个数为（ ）
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点：抛物线的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：根据抛物线方程，结合向量知识，即可得出结论．
解答：
解：（1）取AB⊥x轴，则A（
，p），F（
，0），
设K（0，a），则由（
，p-a）•（
，-a）=0，可得
-pa+a2=0，∴a=
，即（1）正确；
（2）由抛物线定义，知FA=CA，FB=DB，则∠ACF=∠AFC，∠BDF=∠BFD，则∠CFD=180°-∠AFC-∠BFD=180°-
（360°-∠FAC-∠FBD）=90°，∴
•
=0，正确；
（3）由（2），知△CXF与△FXD相似，即CX•DX=XF2=p2，
知AH=
，OX=
，得
=
，∴A、O、D共线，即（3）正确；
（4）设直线AB的倾斜角为α，知∠CFD为直角，即FT=
，而PT=
=
=
，有
=
=|cosα|，即AB⊥FT，∴
•
=0，正确．
故选：D．
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
设K（0，a），则由（
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
| p2 |
| 4 |
| p |
| 2 |
（2）由抛物线定义，知FA=CA，FB=DB，则∠ACF=∠AFC，∠BDF=∠BFD，则∠CFD=180°-∠AFC-∠BFD=180°-
| 1 |
| 2 |
| CF |
| DF |
（3）由（2），知△CXF与△FXD相似，即CX•DX=XF2=p2，
知AH=
| CX2 |
| 2p |
| p |
| 2 |
| AH |
| HO |
| OX |
| XD |
（4）设直线AB的倾斜角为α，知∠CFD为直角，即FT=
| CD |
| 2 |
| AC+BD |
| 2 |
| AF+BF |
| 2 |
| AB |
| 2 |
| FT |
| PT |
| CD |
| AB |
| FT |
| AB |
故选：D．
点评：本题考查抛物线方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．
练习册系列答案
世纪百通期末金卷系列答案
相关题目
如图，四边形ABCD为矩形，∠AEB=有5条线段长度分别为1，3，5，7，9，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|