Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=

π

4

，cosB-cos2B=0．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）在△ABC中，由cosB-cos2B=0，花简求得cosB的值，从而求得B的值．
（2）由三角形的内角和公式求得C的值，从而求得sinC，再由正弦定理求得c的值，从而求得三角形的面积

1

2

bc•sinA的值．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵cosB-cos2B=0，
∴2cos²B-cosB-1=0，∴cosB=-

1

2

，cosB=1（舍）．
又B∈（0，π），∴B=

2π

3

．
（2）∵A=

π

4

，B=

2π

3

，∴C=π-

π

4

-

2π

3

=

π

12

，
∴sinC=sin

π

12

=sin(

π

3

-

π

4

)=

6 - 2

4

，
由正弦定理：

C

sinC

=

b

sinB

可得

c

6 - 2 4

=

2

3 2

，求得c=

3 2 - 6

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bc•sinA=

1

2

×2×

3 2 - 6

3

×

2

2

=1-

3

3

．

点评：本题主要考查三角形内角和公式、两角和差的正弦公式、正弦定理的应用，属于中档题．