Question

5．设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；   
（2）记数列$\{\frac{n}{a_n}\}$的前n项和T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式和a₁，a₂+1，a₃成等差数列，即可求出，
（2）利用错位相减法即可求出．

解答 解（1）由已知S_n=2a_n-a₁，有a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n＞1），
即a_n=2a_n-1（n＞1）．
从而a₂=2a₁，a₃=4a₁．
又因为a₁，a₂+1，a₃成等差数列，即a₁+a₃=2（a₂+1）．
所以a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2．
所以，数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
故${a_n}={2^n}$．
（2）由（1）得$\frac{n}{a_n}=\frac{n}{2^n}$．
所以 ${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}，（1）$
$\frac{1}{2}{T_n}$=$\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}，（2）$，
（1）-（2），得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=\frac{{\frac{1}{2}[1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$
所以T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了数列的递推公式和错位相减法求前n项和，属于中档题．