Question

20．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l过定点A（1，0）．
（1）若l与圆相切，求l的方程；
（2）若l与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l与x+2y+2=0的交点为N，判断|AM|•|AN|是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线l₁与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求得直线方程，注意分类讨论；
（2）分别联立相应方程，求得M，N的坐标，再求|AM|•|AN|．

解答 解：（1）①当直线斜率存在时，设直线的斜率为k，则直线方程为：y-0=k（x-1），
即kx-y-k=0．因为直线与圆相切，所以$d=\frac{{|{3k-4-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{3}{4}$….3
所以直线方程是：3x-4y-3=0．
②当直线斜率不存在时，直线为x=1，满足题意．
综上可知：直线的方程是3x-4y-3=0或x=1…..6
（2）因为直线与圆相交，所以斜率存在，设斜率为k，则直线l：y=k（x-1）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\ x+2y+2=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2k-2}{1+2k}\\ y=\frac{-3k}{1+2k}\end{array}\right.$所以$N（{\frac{2k-2}{1+2k}，\frac{-3k}{1+2k}}）$…8
因为M是PQ的中点，所以CM⊥PQ．设直线CM的方程：$y-4=-\frac{1}{k}（{x-3}）$
联立$\left\{\begin{array}{l}y-4=-\frac{1}{k}（{x-3}）\\ y=k（{x-1}）\end{array}\right.$得$M（{\frac{{{k^2}+4k+3}}{{{k^2}+1}}，\frac{{4{k^2}+2k}}{{{k^2}+1}}}）$．…10
所以$\overrightarrow{AM}=（{\frac{4k+2}{{{k^2}+1}}，\frac{{4{k^2}+2k}}{{{k^2}+1}}}），\overrightarrow{AN}=（{\frac{-3}{1+2k}，\frac{-3k}{1+2k}}）$
所以$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=-6$，因为$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=-|{AM}|•|{AN}|$$|{AM}|•|{AN}|=-\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=6$….12

点评 本题主要考查圆的标准方程，简单几何性质，直线与圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．