Question

1．设数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的一个通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）依次令n=1，2，3即可计算出a₂，a₃，a₄；
（2）先验证n=1猜想成立，假设n=k猜想成立，代入递推公式得出n=k+1猜想成立，结论得证．

解答 解：（1）a₂=a₁²-a₁+1=3，
a₃=a₂²-2a₂+1=4，
a₄=a₃²-3a₃+1=5．
（2）猜想：a_n=n+1，
下面用数学归纳法证明：
当n=1时，猜想显然成立，
假设n=k（k≥1）时猜想成立，即a_k=k+1，
则a_k+1=a_k²-ka_k+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k+2．
∴当n=k+1时猜想成立．
∴a_n=n+1．

点评 本题考查来了数学归纳法证明，属于基础题．