Question

13．直线l与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{8}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1相交于A，B两点，若直线l的方程为x-2y+1=0，则线段AB的中点坐标是（　　）

• A． （-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$）
• C． （1，1）
• D． （-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 把直线x-2y+1=0代入椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{8}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1的方程，消去x，化简可得6y²-4y-7=0，运用韦达定理，中点坐标公式可得线段AB的中点的纵坐标，代入直线x-2y=-1可得线段AB的中点的横坐标，可得答案．

解答 解：把直线x-2y+1=0代入椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{8}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1的方程，
消去x，化简可得6y²-4y-7=0，由根与系数的关系可得：
y₁+y₂=$\frac{2}{3}$，故线段AB的中点的纵坐标是$\frac{1}{3}$，
把y=$\frac{1}{3}$代入直线x-2y=-1可得x=-$\frac{1}{3}$，
故线段AB的中点坐标是（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
故选：D．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，线段的中点公式的应用，一元二次方程根与系数的关系，把直线x-2y+1=0代入椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{8}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1的方程，消去x，化简可得6y²-4y-7=0，是解题的关键．