题目内容
设递增等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2=3，S3=13，数列{bn}满足b1=a1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，cn=
，数列{cn}的前n项和Tn．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）若Tn＞2a-1恒成立，求实数a的取值范围．
| bn |
| an |
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）若Tn＞2a-1恒成立，求实数a的取值范围．
考点：数列与不等式的综合,数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等比数列的通项公式和前n项和公式求出公比，再由递增等比数列的性质能求出{an}的通项公式；由点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，知bn+1-bn=2，由此能求出数列{bn}的通项公式．
（Ⅱ）由cn=
，利用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Tn，求出Tn的最小值，由此能求出实数a的取值范围，
（Ⅱ）由cn=
| bn |
| an |
解答：
解：（Ⅰ）∵递增等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2=3，S3=13，
∴
，
解得q=3或q=
，
∵数列{an}为递增等比数列，所以q=3，a1=1．
∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴an=3n-1．…（3分）
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，
∴bn+1-bn=2．
∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴bn=1+（n-1）•2=2n-1．…（5分）
（Ⅱ）∵cn=
，
∴Tn=
+
+
+…+
，
Tn=
+
+
+…+
两式相减得：
Tn=
+
+
+…+
-
=1+2×
-
=2-(
)n-1-
，
所以Tn=3-
-
=3-
．…（9分）
（3）∵Tn+1-Tn=3-
-3+
=
＞0，…（10分）
∴Tn≥T1=1．
若Tn＞2a-1恒成立，则1＞2a-1，
解得a＜1．
∴实数a的取值范围{a|a＜1}．…（12分）
∴
|
解得q=3或q=
| 1 |
| 3 |
∵数列{an}为递增等比数列，所以q=3，a1=1．
∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴an=3n-1．…（3分）
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，
∴bn+1-bn=2．
∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴bn=1+（n-1）•2=2n-1．…（5分）
（Ⅱ）∵cn=
| bn |
| an |
∴Tn=
| 1 |
| 30 |
| 3 |
| 31 |
| 5 |
| 32 |
| 2n-1 |
| 3n-1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 32 |
| 5 |
| 33 |
| 2n-1 |
| 3n |
两式相减得：
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 32 |
| 2 |
| 3n-1 |
| 2n-1 |
| 3n |
=1+2×
| ||||
1-
|
| 2n-1 |
| 3n |
=2-(
| 1 |
| 3 |
| 2n-1 |
| 3n |
所以Tn=3-
| 1 |
| 2•3n-2 |
| 2n-1 |
| 2•3n-1 |
| n+1 |
| 3n-1 |
（3）∵Tn+1-Tn=3-
| n+2 |
| 3n |
| n+1 |
| 3n-1 |
| 2n+1 |
| 3n-1 |
∴Tn≥T1=1．
若Tn＞2a-1恒成立，则1＞2a-1，
解得a＜1．
∴实数a的取值范围{a|a＜1}．…（12分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法和等价转化思想的合理运用
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