Question

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若f（

x0

2

）=

3

4

，x₀∈（

π

4

，

π

2

），求sinx₀的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由倍角公式和两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，从而由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

可解得函数f（x）的单调减区间．
（2）由已知可解得sinx₀+cosx₀=

1

2

，由x₀∈（

π

4

，

π

2

），可得sinx₀+

1-sin2x0

=

1

2

，从而可解得x₀的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

．
∴由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

可解得：kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调减区间[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z．
（2）∵f（

x0

2

）=

2

2

sin（2×

x0

2

+

π

4

）+

1

2

=

2

2

sin（x₀+

π

4

）+

1

2

=

3

4

，
∴可解得：sin（x₀+

π

4

）=

2

4

，即有sinx₀+cosx₀=

1

2

，
∵x₀∈（

π

4

，

π

2

），
∴sinx₀+

1-sin2x0

=

1

2

，整理可得：2sin²x₀-sinx₀-

3

4

=0．
∴x₀=

1+ 7

4

或者

1- 7

4

（舍去）．

点评：本题主要考查了倍角公式和两角和的正弦函数公式的应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．