Question

在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b²+c²-a²=bc．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

7

，求△ABC中周长和面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：综合题,解三角形

分析：（1）利用余弦定理 求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，由 0＜A＜π，可得 A的值．
（2）利用余弦定理结合（1）的结论可得bc≤7，即可求得△ABC中周长和面积的最大值．

解答： 解：（1）∵b²+c²=a²+bc，
∴由余弦定理可得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴可得A=

π

3

．
（2）∵cosA=

1

2

=

b2+c2-a2

2bc

，
∴bc=b²+c²-7
∴bc≥2bc-7
∴bc≤7
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×7×

3

2

=

7 3

4

∴C_△ABC=a+b+c=

7

+b+c，当b=c=

7

时，C_△ABC最大，C_△ABC最大值=

7

+

7

+

7

=3

7

．

点评：本题考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，不等式的解法，属于中档题．