Question

4．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB=1，AC=$\sqrt{3}$，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点．
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）若二面角P-CD-B等于30°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）取PD中点E，连结NE，CE，可证MNEC为平行四边形，由MN∥CE即可判定MN∥平面PCD；
（2）证明AC⊥CD，确定∠PCA是二面角P-CD-B的平面角，求出PA，即可求四棱锥P-ABCD的体积．

解答 （1）证明：取PD中点E，连结NE，CE．
∵N为PA中点，∴NE∥AD，NE=$\frac{1}{2}$AD，
又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC∥AD，MC=$\frac{1}{2}$AD．
∴NE∥MC，NE=MC，即MNEC为平行四边形，
∴MN∥CE．
∵EC?平面PCD，且MN?平面PCD，∴MN∥平面PCD．
（2）解：∵AB=1，AC=$\sqrt{3}$，AD=2，
∴AB²+AC²=AD²，∴AC⊥CD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PC⊥CD，
∴∠PCA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PCA=30°，
∴PA=$\sqrt{3}$tan30°=1，
∴四棱锥P-ABCD的体积=$\frac{1}{3}$×$2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了线与平面平行的判定，考查二面角P-CD-B的平面角、四棱锥P-ABCD的体积，关键在于熟练掌握直线与平面平行的判定定理及其应用，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．