题目内容
13．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足bn=（an-1）2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
分析 （1）根据条件可知a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），d和a1的关系，S3=3a2，即可求得a1和d，数列{an}的通项公式；
（2）求得数列{bn}的通项公式，采用乘以公比“错位相减法”，即可求得数列{bn}的前n项和Tn．
解答 解：（1）等差数列{an}公差为d，首项为a1，
∵a1，a3，a7成等比数列．
∴a32=a1a7，
即（a1+2d）2=a1（a1+6d），
化简得d=$\frac{1}{2}$a1，或d=0（舍去）．
当d=$\frac{1}{2}$a1，
由等差数列S3=3a2，
∴a2=3，得a1=2，d=1．
∴an=a1+（n-1）d=2+（n-1）=n+1，即an=n+1，
数列{an}的通项公式an=n+1；
（2）由（1）可知：an=n+1，
bn=（an-1）2n=（n+1-1）2n=n•2n，
∴bn=n•2n，
数列{bn}的前n项和Tn，Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n，
2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1，
两式相减：得-Tn=2+22+22+…+2n-n×2n+1，
=2n+1-2-n×2n+1，
∴Tn=（n-1）2n+1+2．
数列{bn}的前n项和Tn，Tn=（n-1）2n+1+2．
点评 本题考查求等差数列的通项公式，考查采用错位相减法求数列的前n项和，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用，属于中档题．
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