Question

14．设函数f（x）=x²+aln（x+1）
（1）若a=-4，写出函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-4时，求出f′（x），（x＞-1），由此能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）求出f′（x），（x＞-1），由函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，知2x²+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）a=-4，f（x）=x²-4ln（x+1）（x＞-1），
f′（x）=$\frac{2（x+2）（x-1）}{x+1}$，（x＞-1），
∴当-1＜x＜1时f'（x）＜0，当x＞1时f'（x）＞0，
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{{2x}^{2}+2x+a}{x+1}$，（x＞-1）
∵函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴2x²+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，
令t=2x²+2x=2（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，（x≥2），则t≥12，
∴a≥-12．

点评 本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．