Question

12．某工厂为了增加其产品的销售量，调查了该产品投入的广告费用x与销售量y的数据，如表：

广告费用x（万元）	2	3	4	5	6
销售量y（万件）	5	7	8	9	11

由散点图知可以用回归直线$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$来近似刻画它们之间的关系．
（Ⅰ）求回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的回归方程模型中，请用相关指数R²说明，广告费用解释了百分之多少的销售量变化？
参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$；R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由数据求得样本中心点，利用最小二乘法求得系数$\stackrel{∧}{b}$，由线性回归方程过样本中心点，代入即可求得$\stackrel{∧}{a}$，即可求得回归直线方程；
（Ⅱ）分别求得$\stackrel{∧}{y}$₁，$\stackrel{∧}{y}$₂…，$\stackrel{∧}{y}$₅，根据相关指数公式求得相关指数R²，即可求得广告费用解释了百分之多少的销售量变化．

解答 解：（Ⅰ）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+3+4+5+6）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（5+7+8+9+11）=11，
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=1.4，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=8-1.4×4=2.4，
∴回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=1.4x+2.4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
$\stackrel{∧}{y}$₁=1.4×2+2.4=5.2；
$\stackrel{∧}{y}$₂=1.4×3+2.4=6.6；
$\stackrel{∧}{y}$₃=1.4×4+2.4=8；
$\stackrel{∧}{y}$₄=1.4×5+2.4=9.4；
$\stackrel{∧}{y}$₅=1.4×6+2.4=10.8；
R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{5}（{y}_{i}-\widehat{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{5}（{y}_{i}-\overline{{y}_{i}}）^{2}}$=0.98，
∴广告费用解释了98%的销售量变化．

点评 本题考查利用最小二乘法求线性回归方程及相关指数公式，解答的关键是知道回归直线一定经过样本中心点，属于基础题．