Question

14．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，满足：a₁=b₁=1，a₅=b₃，且S₃=9．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求$\frac{1}{{S}_{1}+1}$+$\frac{1}{{S}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}+n}$的值．

Answer 1

分析 （1）由S₃=9．可求得a₂=3，d=a₂-a₁=2，根据等差数列通项公式即可求得a_n，a₅=b₃，求得q²=9，数列{b_n}的各项均为正数，即可求得q=3，根据等比数列通项公式即可求得b_n；
（2）首先求得S_n+1=n²+n=n（n+1），$\frac{1}{{S}_{n}+n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，采用“裂项法“求得$\frac{1}{{S}_{n}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，代入整理即可求得$\frac{1}{{S}_{1}+1}$+$\frac{1}{{S}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}+n}$的值．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列的公比为q，
S₃=a₁+a₂+a₃=9．即a₂=3，
d=a₂-a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1，
a₅=b₃=9，即q²=9，
∵b_n＞0，
∴q=3，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=3^n-1；
（2）由等差数列前n项和公式S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
S_n+n=n²+n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{S}_{n}+n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
$\frac{1}{{S}_{1}+1}$+$\frac{1}{{S}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}+n}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$．
$\frac{1}{{S}_{1}+1}$+$\frac{1}{{S}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}+n}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项法”、等插数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．