Question

5．曲线C是平面内与两个定点F₁（-2，0），F₂（2，0）的距离之积等于9的点的轨迹．给出下列命题：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标轴对称；
③若点P在曲线C上，则△F₁PF₂的周长有最小值10；
④若点P在曲线C上，则△F₁PF₂面积有最大值$\frac{9}{2}$．
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据定义求出曲线C的方程，根据方程特点判断①，②，根据基本不等式判断③，把y²看作x²的函数，解出y²，得出S=2y，求出y的范围即可得出S的范围．

解答 解：设曲线C上任意一点的坐标为P（x，y），则[（x+2）²+y²]•[（x-2）²+y²]=81，
①把x=0，y=0代入上式得1=81，故曲线C不经过原点，故①错误；
②把（-x，y）代入上式得[（-x+2）²+y²][（-x-2）²+y²]=[（x-2）²+y²][（x+2）²+y²]=81，
∴曲线C关于y轴对称，
把（x，-y）代入上式显然也成立，故曲线C关于x轴对称，故②正确；
③∵|PF₁|+|PF₂|≥2$\sqrt{|PF1|•|PF2|}$=2$\sqrt{9}$=6，
∴△F₁PF₂的周长为|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|≥6+4=10，故③正确；
④△F₁PF₂面积S=$\frac{1}{2}×4×y$=2y，∴S²=4y²，
∵[（x+2）²+y²]•[（x-2）²+y²]=81，∴y⁴+（2x²+8）y²+（x²-4）²-81=0，
∴y²=$\sqrt{24{x}^{2}+81}$-x²-4或y²=-$\sqrt{24{x}^{2}+81}$-x²-4（舍）．
设$\sqrt{24{x}^{2}+81}$=t，则x²=$\frac{{t}^{2}-81}{24}$，
∴y²=t-$\frac{{t}^{2}-81}{24}$-4=-$\frac{1}{24}$t²+t-$\frac{5}{8}$=-$\frac{1}{24}$（t-12）²+$\frac{43}{8}$，
∴当t=12时，y²取得最大值$\frac{43}{8}$，即S的最大值为2$\sqrt{\frac{43}{8}}$，故④错误．
故选C．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，基本不等式及函数最值的计算，属于中档题．