某市政府为了引导居民合理用水.决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅的月用水量为基准定价:若用水量不超过12吨时.按4元/吨计算水费,若用水量超过12吨且不超过14吨时.超过12吨部分按6.60元/吨计算水费,若用水量超过14吨时.超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况.通过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．
（ i）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；
（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；
（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是$\widehaty=2x+33$．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．

分析（Ⅰ）（ i）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为$\frac{1}{10}$，即可求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；
（ⅱ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表，即可估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；
（Ⅱ）求出7月份的水费为294.6-240=54.6元．居民月用水量为t吨，相应的水费为f（t）元，即可得出结论．

解答解：（Ⅰ）（ i）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为$\frac{1}{10}$，因此这5户居民恰好3户居民的月用水用量都这超过12吨的概率为$P=C_5^3{（\frac{1}{10}）^3}{（\frac{9}{10}）^2}=\frac{81}{10000}$． …（4分）
（ ii）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：

月用水量x（吨）	（0，12]	（12，14]	（14，16]
价格X（元/吨）	4	4.20	4.60
概率P	0.9	0.06	0.04

所以全市居民用水价格的期望E（X）=4×0.9+4.2×0.06+4.6×0.04≈4.04吨．…（8分）
（Ⅱ）设李某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的对应点为（x_i，y_i）（i=1，2，3，4，5，6），
它们的平均值分别为$\overline x$，$\overline y$，则${x_1}\;+{x_2}+…+{x_6}=21=6\overline x$，又点$（\overline x\;，\;\overline y）$在直线$\widehaty=2x+33$上，所以$\overline y=40$，因此y₁+y₂+…+y₆=240，所以7月份的水费为294.6-240=54.6元．
设居民月用水量为t吨，相应的水费为f（t）元，则f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{4t，0＜t≤12}\\{6，12＜t≤14}\\{7.8t-48，14＜t≤16}\end{array}\right.$，
t=13，f（t）=6.6×13-31.2=54.6，
∴李某7月份的用水吨数约为13吨．…（12分）

点评本题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．