Question

已知点M（x₀，y₀）在圆x²+y²=4上运动，且存在一定点N（6，0），点P（x，y）为线段MN的中点．
（1）求点P的轨迹方程
（2）已知O为坐标原点，求|OP|的最值．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：（1）由中点坐标公式得到M与P的坐标的关系，把M的坐标用P的坐标表示，代入圆的方程整理得答案；
（2）化（1）中的方程为圆的标准方程，然后由圆心到原点的距离分别加上和减去圆的半径得|OP|的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由中点坐标公式得：

x= x0+6 2 y= y0 2

，即x₀=2x-6，y₀=2y．
∵M（x₀，y₀）在圆x²+y²=4上运动，
∴x02+y02=4．
即（2x-6）²+（2y）²=4．
整理得（x-3）²+y²=1；
（2）（x-3）²+y²=1是以（3，0）为圆心，以1为半径的圆．
|OP|的最大值为3+1=4，最小值为3-1=2．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法求曲线的方程，是中档题．