Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为

2

2

，过F₁的直线l交C于A、B两点，且△ABF₂的周长是16，求椭圆C的方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：画出图形，结合图形以及椭圆的定义与性质，求出a、b的值，即可写出椭圆的方程．

解答： 解：如图所示，
设椭圆的长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c；
则离心率e=

c

a

=

2

2

，
∴4a=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=16；
∴a=4，
∴c=

2

2

×4=2

2

，
∴b²=a²-c²=4²-(2

2

)2=8；
∴椭圆的方程是

x2

16

+

y2

8

=1．

点评：本题考查了椭圆的定义与简单的几何性质的应用问题，解题时应结合图形进行解答问题，是基础题．