Question

现有4人去旅游，旅游地点有A、B两个地方可以选择．但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的数则去B地；
（1）求这4个人中恰好有1个人去A地的概率；
（2）求这4个人中去A地的人数大于去B地的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去A、B两地的人数，记ξ=|X•Y|．求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）依题意，这4个人中，每个人去A地旅游的概率为

1

3

，去B地的人数的概率为

2

3

，由此能求出这4个人中恰有1人去A地游戏的概率．
（2）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则B=A₃∪A₄，由此能求出这4个人中去A地的人数大于去B地的人数的概率．
（3）ξ的所有可能取值为0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

解答： 解：（1）依题意，这4个人中，每个人去A地旅游的概率为

1

3

，
去B地的人数的概率为

2

3

设“这4个人中恰有i人去A地旅游”为事件A_i（i=0，1，2，3，4）
∴P(Ai)=

C

i 4

(

1

3

)i(

2

3

)4-i．（2分）
这4个人中恰有1人去A地游戏的概率为P(A1)=

C

1 4

(

1

3

)1(

2

3

)3=

32

81

．（4分）
（2）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则B=A₃∪A₄，
∴P(B)=P(A3)+P(A4)=

1

9

．（8分）
（3）ξ的所有可能取值为0，3，4，
P(ξ=0)=P(A0)+P(A4)=

16

81

+

1

81

=

17

81

，
P(ξ=3)=P(A1)+P(A3)=

32

81

+

8

81

=

40

81

，
P(ξ=4)=P(A2)=

24

81

，（10分）
∴ξ的分布列是

ξ	0	3	4
P	17 81	40 81	24 81

Eξ=0×

17

81

+3×

40

81

+4×

24

81

=

8

3

．（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．