题目内容
设无穷数列{an}，如果存在常数A，对于任意给定的正数?（无论多小），总存在正整数N，使得n＞N时，恒有|an-A|＜?成立，就称数列{an}的极限为A，则四个无穷数列：
①{（-1）n×2}；
②{
+
+
+…+
}；
③{1+
+
+
+…+
}；
④{1×2+2×22+3×23+…+n×2n}，
其极限为2共有（ ）
①{（-1）n×2}；
②{
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| 5×7 |
| 1 |
| (2n-1)(2n+1) |
③{1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 2n-1 |
④{1×2+2×22+3×23+…+n×2n}，
其极限为2共有（ ）
| A、4个 | B、3个 | C、2个 | D、1个 |
考点：数列的极限
专题：计算题,等差数列与等比数列
分析：分别求和，再求极限，即可得出结论．
解答：
解：①数列{（-1）n×2}是摆动数列，不存在极限；
②
+
+
+…+
=
（1-
+
-
+…+
-
）=
（1-
），数列{an}的极限为
；
③{1+
+
+
+…+
}的极限为
=2；
④Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n…①，
2Sn=1•22+2•23+…+n•2n+1 …②，
∴①-②得-Sn=21+22+23+…+2n-n•2n+1
∴-Sn=2n+1-2-n×2n+1
∴Sn=（n-1）2n+1+2，
∴数列{an}的极限不存在．
故选：D．
②
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| 5×7 |
| 1 |
| (2n-1)(2n+1) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2 |
③{1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 | ||
1-
|
④Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n…①，
2Sn=1•22+2•23+…+n•2n+1 …②，
∴①-②得-Sn=21+22+23+…+2n-n•2n+1
∴-Sn=2n+1-2-n×2n+1
∴Sn=（n-1）2n+1+2，
∴数列{an}的极限不存在．
故选：D．
点评：本题考查数列的极限，考查数列的求和，正确求和是关键．
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