Question

已知直线l：

x=-1+tcosα y=tsinα

（t为参数，α为l的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C为：ρ²-6ρcosθ+5=0．
（1）若直线l与曲线C相切，求α的值；
（2）设曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），求x+y的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）求出圆的直角坐标方程，直线的直角坐标方程，利用直线l与曲线C相切，列出关系式，即可求α的值；
（2）曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），通过圆的参数方程，得到x+y的表达式，利用三角函数化简，即可求解取值范围．

解答： 解：（1）曲线C的直角坐标方程为x²+y²-6x+5=0
即（x-3）²+y²=4曲线C为圆心为（3，0），半径为2的圆．
直线l的方程为：xsinα-ycosα+sinα=0…（3分）
∵直线l与曲线C相切∴

|3sinα+sinα|

sin2α+cos2α

=2
即sinα=

1

2

…（5分）
∵α∈[0，π）∴α=

π

6

或

5π

6

…（6分）
（2）设x=3+2cosθ，y=2sinθ
则 x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2

2

sin(θ+

π

4

)…（9分）
∴x+y的取值范围是[3-2

2

，3+2

2

]．…（10分）

点评：本题考查直线与圆的参数方程以及极坐标方程的应用，直线与圆的位置关系，三角函数的化简求值，考查计算能力．