Question

等差数列{a_n}的前n项之和为S_n，若a₁=1，且

S2015

2015

-

S2013

2013

=2，
（1）求a_n；   
（2）求证：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞2(

2n

-1)．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列{a_n}的前n项之和为S_n，可知{

Sn

n

}也是等差数列且公差为1，即可求得；
（2）由（1）得

1

an

=

1

2n-1

=

2

2 2n-1

＞

2

2n-1 + 2n

=2(

2n

-

2n-1

)，利用裂项相消法证得结论成立．

解答： 解：（1）等差数列{a_n}的前n项之和为S_n，则{

Sn

n

}也是等差数列且公差为1
所以

Sn

n

=

S1

1

+(n-1)即Sn=n2
∴a_n=2n-1
（2）∵

1

an

=

1

2n-1

=

2

2 2n-1

＞

2

2n-1 + 2n

=2(

2n

-

2n-1

)
所以

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞2(

2n

-1)

点评：本题考查学生对等差数列性质的运用及数列求和方法的运用能力，考查学生放缩法及运算求解能力，属难题．