题目内容
如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），连接A1B，A1C，A1D1
（1）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；
（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．
（1）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；
（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）首先根据最大值确定正方体，进一步根据法向量，及向量的数量积求出二面角．
（2）与（1）一样建立空间直角坐标系，利用向量的数量积，向量共享的充要条件，进一步利用线面垂直的性质，求出分点坐标，进一步求出点P的位置．
（2）与（1）一样建立空间直角坐标系，利用向量的数量积，向量共享的充要条件，进一步利用线面垂直的性质，求出分点坐标，进一步求出点P的位置．
解答：
解：将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），
则求得：AD=2-t
则：V=t（2-t）=-（t-1）2+1
当t=1时，Vmax=1
即：长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，长方体恰好是正方体．
所以：建立空间直角坐标系A-xyz．正方体的棱长为1．
由于AB1⊥A1B，BC⊥AB1
所以：AB1⊥平面BA1C
所以：
可以看做是平面BA1C的法向量．
所以：
=(1，0，1)
同理：利用线面垂直得到
可以看做是平面DA1C
所以：
=(0，1，1)
进一步求得：cos＜
＞=
=
，
所以根据图形知：二面角B-A1C-D的值为
．
（2）建立空间直角坐标系A-xyz，则：C（t，2-t，0），A1（0，0，1），B（t，0，0），
D（0，2-t，0）
所以：
=(t，2-t，-1)，
=(-t，2-t，0)
假设在线段A1C上存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，则设
=λ
（λ＞0）
根据分点坐标公式：P（
，
，
)
求得：
=(
-t，
，
)，
由于
⊥
所以：-t2+λ（2-t）2-1=0①
同理利用：
⊥
解得：-t2+（2-t）2=0②
所以：
解得：λ=1±
（负值舍去）
所以点P在
=(1+
)
的位置．
解：将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），则求得：AD=2-t
则：V=t（2-t）=-（t-1）2+1
当t=1时，Vmax=1
即：长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，长方体恰好是正方体．
所以：建立空间直角坐标系A-xyz．正方体的棱长为1．
由于AB1⊥A1B，BC⊥AB1
所以：AB1⊥平面BA1C
所以：
| AB1 |
所以：
| AB1 |
同理：利用线面垂直得到
| AD1 |
所以：
| AD1 |
进一步求得：cos＜
| AB1 |
| AD1 |
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
所以根据图形知：二面角B-A1C-D的值为
| 2π |
| 3 |
（2）建立空间直角坐标系A-xyz，则：C（t，2-t，0），A1（0，0，1），B（t，0，0），
D（0，2-t，0）
所以：
| A1C |
| BD |
假设在线段A1C上存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，则设
| A1P |
| PC |
根据分点坐标公式：P（
| λt |
| 1+λ |
| λ(2-t) |
| 1+λ |
| 1 |
| 1+λ |
求得：
| BP |
| λt |
| 1+λ |
| λ(2-t) |
| 1+λ |
| 1 |
| 1+λ |
由于
| BP |
| A1C |
所以：-t2+λ（2-t）2-1=0①
同理利用：
| BD |
| A1C |
解得：-t2+（2-t）2=0②
所以：
|
解得：λ=1±
| 3 |
所以点P在
| A1P |
| 3 |
| PC |
点评：本题考查的知识要点：空间直角坐标系，法向量，向量的数量积，分点坐标公式，向量的共线问题，属于中等题型．
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