Question

已知f（x）=2

2

sin（ωx+

π

4

）•cos（ωx+

π

4

）-sin（2ωx+

π

4

）（ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象向右平移

π

3

个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值，并指出此时x的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=cos（2ωx+

π

4

 ），再利用函数y=Acos（ωx+φ）的周期为

2π

ω

=π，求得ω的值．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=cos（2x-

5π

12

），再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值，以及此时x的值．

解答： 解：（1）由于f（x）=2

2

sin（ωx+

π

4

）•cos（ωx+

π

4

）-sin（2ωx+

π

4

）=

2

sin（2ωx+

π

2

）-sin（2ωx+

π

4

）
=

2

cos2ωx-sin2ωx•

2

2

-cos2ωx•

2

2

=

2

2

cos2ωx-

2

2

sin2ωx=cos（2ωx+

π

4

 ），
故函数f（x）的最小正周期为

2π

2ω

=π，∴ω=1，故f（x）=cos（2x+

π

4

 ）．
（2）将函数f（x）的图象向右平移

π

3

个单位长度，得到函数g（x）=cos（2x-

2π

3

+

π

4

）=cos（2x-

5π

12

）的图象，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

5π

12

∈[-

5π

12

，

7π

12

]，
故当2x-

5π

12

=

7π

12

时，即x=

π

2

时，函数取得最小值为cos

7π

12

=-sin

π

12

=-sin（

π

3

-

π

4

）=-

3

2

×

2

2

+

1

2

×

2

2

=

2 - 6

4

；
当2x-

5π

12

=0时，即x=

5π

24

时，函数取得最大值为cos0=1．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．