Question

在△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S．已知2S=（a+b）²-c²
（1）求sinC；           
（2）若a+b=10，求S的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式左边利用三角形面积公式，右边利用完全平方公式展开，变形后利用余弦定理化简，整理求出cosC的值，即可求出sinC的值即可；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，即可求出三角形S的最大值．

解答： 解：（1）∵2S=（a+b）²-c²，
∴2×

1

2

absinC=a²+b²-c²+2ab，即

1

2

sinC=

a2+b2-c2

2ab

+1，
由余弦定理可得

1

2

sinC=cosC+1，
即5cos²C+8cosC+3=0，
分解因式得：（5cosC+3）（cosC+1）=0，
解得：cosC=-

3

5

或cosC=-1（舍去），
则sinC=

1-cos2C

=

4

5

；
（2）∵sinC=

4

5

，
∴S=

1

2

absinC=

2

5

ab≤

2

5

（

a+b

2

）²=10，
当且仅当a=b=5时“=”成立．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．