Question

定义在R上的函数f（x）=x²-|x-a|（x-1），（a∈R，a＞-1）
（1）a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）记函数y=f（x）在[0，1]上的最大值与最小值分别为M（a），N（a），求最大值与最小值的差g（a）．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）a=2时，函数y=f（x）=

3x-2，x≥2 2x2-3x+2，x＜2

，由此可得函数的增区间．
（2）函数y=f（x）=

(a+1)x-a，x≥a 2x2-(a+1)x+a，x＜a

，a+1＞0，分类讨论求得M（a）和N（a），可得最大值与最小值的差g（a）．

解答： 解：（1）a=2时，函数y=f（x）=x²-|x-2|（x-1）=

3x-2，x≥2 2x2-3x+2，x＜2

，
故函数的增区间为[

3

4

，+∞）．
（2）∵函数y=f（x）=x²-|x-a|（x-1）=

(a+1)x-a，x≥a 2x2-(a+1)x+a，x＜a

，a＞-1，∴a+1＞0．
①当-1＜a≤0时，函数y=f（x）在[0，1]上单调递增，故N（a）=f（0）=-a，M（a）=f（1）=1，
∴最大值与最小值的差g（a）=1+a．
②当0＜a＜

1

3

时，

a+1

4

＞a，函数y=f（x）在[0，a]上单调递减，在（a，1]上单调递增，N（a）=f（a）=a²，M（a）=1，g（a）=1-a²．
③当

1

3

≤a＜1时，

a+1

4

≤a，函数y=f（x）在[0，

a+1

4

]上单调递减，在（

a+1

4

，1]上单调递增，N（a）=f（

a+1

4

）=

-a2+6a-1

8

，M（a）=1，g（a）=

a2-6a+9

8

．
④当3＞a≥1时，

a+1

4

∈[

1

2

，1），函数y=f（x）在[0，

a+1

4

]上单调递减，在（

a+1

4

，1]上单调递增，
N（a）=f（

a+1

4

）=

-a2+6a-1

8

，M（a）=f（0）=a，g（a）=a-

-a2+6a-1

8

=

(a+1)2

8

．
⑤当a≥3时，函数y=f（x）在[0，1]上单调递减，M（a）=f（0）=a，N（a）=f（1）=1，
∴最大值与最小值的差g（a）=a-1．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．