Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e=

1

2

，则

AP

•

FP

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意，设P（x，y）根据椭圆的方程，易得A₁、F₂的坐标，将其代入

AP

•

FP

中，可得关于x、y的关系式，结合双曲线的方程，可得

AP

•

FP

=

1

4

x2+3x+5，（-2≤x≤2），求二次函数的值域．

解答： 解：∵该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，
∴a=2，
∵离心率e=

1

2

，
∴c=1，
∴b²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
设P（x，y），
又A（-2，0），F（-1，0），
∴

AP

=(2+x，y)，

FP

=(x+1，y)，

AP

•

FP

=（x+2，y）•（x+1，y）=（x+2）（x+1）+y²
=

1

4

x2+3x+5，（-2≤x≤2）
对称轴为x=-6
当x=-2时，取得最小值0，当x=2时，取得最大值12，
故答案为[0，12]

点评：本题考查椭圆方程的应用、平面向量数量积的运算等，涉及最值问题．最值问题解题的思路是先设出变量，表示出要求的表达式，结合圆锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不等式的性质或函数的最值进行计算．