Question

已知函数f（x）=|x-5|+|x-1|，存在实数x，使得f（x）≤-a²+2a+4有解，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：利用绝对值不等式的几何意义可得f（x）=|x-5|+|x-1|≥|（x-5）+（1-x）|=4，依题意，解不等式-a²+2a+4≥4即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=|x-5|+|x-1|≥|（x-5）+（1-x）|=4，
存在实数x，使得f（x）≤-a²+2a+4有解，
∴-a²+2a+4≥4，
∴a²-2a≤0，
解得：0≤a≤2，
∴实数a的取值范围为[0，2]．
故答案为：[0，2]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与恒成立问题，属于中档题．