Question

18．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C对的边，$b=\sqrt{3}$．
（1）若$C=\frac{5π}{6}$，△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求c；
（2）若$B=\frac{π}{3}$，求2a-c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式，即可求得a，根据余弦定理，即可求得c的值；
（2）根据正弦定理，分别求得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=2sinA，c=$\frac{bsinC}{sinB}$=2sinC，则2a-c=4sinA-2sinC=2$\sqrt{3}$cosC，$0＜C＜\frac{2π}{3}$，根据余弦函数的性质即可求得2a-c的取值范围．

解答 解：（1）∵$C=\frac{5π}{6}$，△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$b=\sqrt{3}$，
∴由三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×a×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则a=2．
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=$4+3-2×2×\sqrt{3}×（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=13$．
∴$c=\sqrt{13}$，
c的值为$\sqrt{13}$；
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R．
∴a=$\frac{bsinA}{sinB}$=2sinA，c=$\frac{bsinC}{sinB}$=2sinC，
∴$2a-c=4sinA-2sinC=4sin（\frac{2π}{3}-C）-2sinC$
=$4（sin\frac{2π}{3}cosC-cos\frac{2π}{3}sinC）-2sinC=2\sqrt{3}cosC$，
∵$B=\frac{π}{3}$，
∴$0＜C＜\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{1}{2}＜cosC＜1$，
∴$-\sqrt{3}＜2\sqrt{3}cosC＜2\sqrt{3}$，
∴2a-c的取值范围为$（-\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．

点评 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式及余弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．