Question

9．已知函数f（x）=x-ae^x，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-e^x，f'（x）=1-e^x．切线的斜率k=f'（0）=0，切点（0，f（0）），即可求得切线方程．
（Ⅱ）由f（x）=x-ae^x，得f'（x）=1-ae^x．分a≤0，a＞求出函数f（x）的单调区间，结合图象求解．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-e^x，f'（x）=1-e^x．
当x=0时，y=-1，又f'（0）=0，
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-1．…（4分）
（Ⅱ）由f（x）=x-ae^x，得f'（x）=1-ae^x．
当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增．
当x=a时，f（a）=a-ae^a=a（1-e^a）≤0，当x=1时，f（1）=1-ae＞0，
所以当a≤0时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；       …（8分）
当a＞0时，令f'（x）=0，得x=-lna．f（x）与f'（x）在区间（-∞，+∞）上的情况如下：

x	（-∞，-lna）	-lna	（-lna，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，
则有f（-lna）=0，即-lna-a e^-lna=0．解得$a=\frac{1}{e}$．
综上所述，当a≤0或$a=\frac{1}{e}$时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点．…（12分）

点评 本题考查了导数的综合应用，利用导数求切线方程，函数图象与横轴交点问题．属于中档题．