Question

13．若行列式$|{\begin{array}{l}1&2&4\\{cos\frac{x}{2}}&{sin\frac{x}{2}}&0\\{sin\frac{x}{2}}&{cos\frac{x}{2}}&8\end{array}}|$中元素4的代数余子式的值为$\frac{1}{2}$，则实数x的取值集合为$\{x|x=2kπ±\frac{π}{3}，k∈Z\}$．

Answer 1

分析 求得元素4的代数余子式，展开，利用二倍角公式，及特殊角的三角函数值，即可求得实数x的取值集合．

解答 解：行列式$|{\begin{array}{l}1&2&4\\{cos\frac{x}{2}}&{sin\frac{x}{2}}&0\\{sin\frac{x}{2}}&{cos\frac{x}{2}}&8\end{array}}|$中元素4的代数余子式A₁₃=$[\begin{array}{l}{cos\frac{x}{2}}&{sin\frac{x}{2}}\\{sin\frac{x}{2}}&{cos\frac{x}{2}}\end{array}]$=$\frac{1}{2}$，
则cos²$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$，则cosx=$\frac{1}{2}$，
解得：x=2kπ±$\frac{π}{3}$，k∈Z，
实数x的取值集合$\{x|x=2kπ±\frac{π}{3}，k∈Z\}$，
故答案为：$\{x|x=2kπ±\frac{π}{3}，k∈Z\}$．

点评 本题考查行列式的代数余子式求法，行列式的展开，二倍角公式，特殊角的三角形函数值，考查计算能力，属于中档题．