Question

8．在棱长为a的正四面体A-BCD中，M是棱AB的中点，则CM与底面BCD所成的角的正弦值是$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 过A做BD的垂线，垂足为F，连接CF，过A做AO⊥BCD故M在平面BCD的投影也在CF上，设为O′，连接O′C，令正四面体的棱长为a，通过解三角形求出即可．

解答 解：过A做BC的垂线，垂足为F，连接CF，易知CF⊥BC，故平面AFD⊥BCD，
过A做AO⊥BCD，O应为BCD的中心，在CF上，因此AC投影在CF上．
故M在平面BCD的投影也在CF上，设为O′，连接O′C，知O′C⊥MO′，
如图示：
因PO′∥AO，故$\frac{MO′}{AO}$=$\frac{DM}{DA}$=$\frac{1}{2}$，
令正四面体的棱长为a
AF=CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，FO═$\frac{\sqrt{3}}{6}a$，AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$，
∴MO′=$\frac{\sqrt{6}}{6}a$，∴sin∠PDO′=$\frac{MO′}{MC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了直线和平面所成角的问题，考查解三角形问题，正确作出辅助线是解题的关键．