题目内容

20．对于函数f（x）的定义域中任意的x1、x2（x1≠x2），有如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$；当f（x）=2x时，上述结论中正确的有（　　）个．
A．3B．2C．1D．0

分析 利用函数的性质验证命题的真假即可．

解答 解：当f（x）=2x时，
①f（x1+x2）=${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=${2}^{{x}_{1}}$•${2}^{{x}_{2}}$=f（x1）•f（x2）；①正确；
由①可知②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；不正确；
③$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，说明函数是增函数，而f（x）=2x是增函数，所以③正确；
所以正确的结论有2个，
故选：B．

点评 本题考查函数的基本性质的应用，考查命题的真假的判断，是基础题．

练习册系列答案
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10．已知函数f（x）=bx-$\frac{b}{x}$+2alnx．（x∈R）．
（1）若a=1时，函数f（x）在其定义域上不是单调函数，求实数b的取值范围；
（2）若b=1时，且当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式[${\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}$-$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}}$]（x1-x2）＞0恒成立，求a的取值范围．
11．设定义在R上的奇函数函数f（x）=k•2x+1+（k-3）•2-x
（1）求k的值．
（2）用定义证明f（x）在定义域内的单调性．
（3）若x∈[1，3]时，不等式f（x2-x）+f（tx+4）＞0恒成立，求实数t的取值范围．
8．已知函数f（x）=aln（x+1）-x（x+1）（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a，使得存在实数m∈R*，对任意x∈（0，m）都有-x2＜f（x）＜0？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，说明理由？
15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≤2}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞2}\end{array}\right.$．
（1）当x∈[-1，2]时，求函数f（x）的值域；
（2）解不等式f（x+1）＞3．
5．已知偶函数f（x）满足$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若区间[-1，3]上，函数g（x）=f（x）-kx-k有3个零点，则实数k的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．
12．设函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，x∈R，a为常数；已知f（x）为奇函数．
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若对任意t∈[1，2]有f（m•2t-2）+f（2t）≥0，求m的取值范围．
9．设f（x）=$\frac{1}{3}$x3+ax2+bx（a，b∈R）
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2时取得最小值-5，且h（x）=f（x）+3x+k只有一个零点，求k的取值范围；
（2）设a+b≤8，且a，b∈N*，若f（x）的单调减区间的长度是正整数，求a，b的值．（注：区间（m，n）的长度是n-m）．
10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E，F分别是BC，PA的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面PED；
（Ⅱ）求二面角P-DE-A的大小；
（Ⅲ）求点C到平面PED的距离．

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