Question

在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

A

【解析】

试题分析：可以考虑用向量解决本题，所以分别以DA，DC，DD1三直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据线面角的概念知D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值等于与平面A1BC1的法向量夹角的余弦值的绝对值，所以根据已知的边的长度求出的坐标，设平面A1BC1的法向量为，根据向量与垂直即可求出，根据向量夹角余弦公式即可求出向量，夹角的余弦值的绝对值．

【解析】
如图，分别以DA，DC，DD1三条边所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；

根据题意知，D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值等于向量和平面A1BC1的法向量夹角余弦值的绝对值；

根据已知的边的长度，可求以下几点坐标：

D1（0，0，1），C1（0，2，1），A1（1，0，1），B（1，2，0）；

∴，，；

设平面A1BC1的法向量为，则；

∴，取y=1，∴；

∴=．

故选A．