Question

20．下列关于空间向量的命题中，正确的有①③④．
①若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$与空间任意向量都不能构成基底，则$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$；
②若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$则有$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$；
③若$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$是空间的一组基底，且$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$，则A，B，C，D四点共面；
④若向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$，是空间一组基底，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$也是空间的一组基底．

Answer 1

分析 根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择．

解答 解：①若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，则$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$；故①正确；
②若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$不确定；故②错误；
③若$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$是空间的一组基底，则A，B，C三点不共线，且$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$，由空间向量基本定理得到A，B，C，D四点共面；故③正确；
④若向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$，是空间一组基底，则空间任何一个向量$\overrightarrow{d}$，存在唯一的实数组（x，y，z），$\overrightarrow{d}=x（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）+y（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）+z（\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}）$=$（x+z）\overrightarrow{a}+（x+y）\overrightarrow{b}+（y+z）\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$也是空间的一组基底；故④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了空间向量基本定理；理解掌握定理是解答的关键．