Question

已知函数f（x）=x²+

2

x

，f（x）=f（c）有三个不相同的实数根，求c的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：数形结合,转化思想,导数的综合应用

分析：函数f（x）=x²+

2

x

，求解函数导数，判断单调性，结合图象得出f（x）=f（c）有三个不相同的实数根的条件为：c²+

2

c

＞3，即

(c+2)(c-1)2

c

＞0，解此不等式即可得到c的范围．

解答： 解：函数f（x）=x²+

2

x

，
f′（x）=2x-

2

x2

=

2x3-2

x2

，
f′（x）=0，x=1，
f′（x）＞0，x＞1，f′（x）＜0，x＜0，或0＜x＜1
f（x）在（-∞，0）（0，1）上单调递减，（1，+∞）单调递增，
f（1）=3，
据图可知；可以转化为：

c≠1 c(c+2)＞0

解不等式得c的范围：（-∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）
故答案为：（-∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）

点评：本题考察了函数图象在求解方程根的问题中的应用，对数学式子的理解转化，是解决本题的关键．