Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x²+4x
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）写出f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）是定义在R上的奇函数，f（-x）=-f（x），求出f（0）=0，设x＞0时，-x＜0转化为当x＜0时，f（x）=x²+4x，求解析式．
（2）根据分段函数的式子，每段都是二次函数，写出单调递减区间．

解答： （1）解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即f（0）=0
∵当x＜0时，f（x）=x²+4x，
∴当x＞0时，-x＜0，f（x）=-f（-x）=-[（-x）²+4（-x）]
=-x²+4x，
故f(x)=

x2+4x，x≤0 -x2+4x，x＞0

（2）f(x)=

x2+4x，x≤0 -x2+4x，x＞0

根据二次函数的性质，可以知道（-∞，-2），（，2，+∞）单调递减区间．

点评：本题考察了函数的性质，运用性质求解析式，容易题．