Question

如图，长方体中，为中点.

（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；
（3）若二面角的大小为，求的长.

Answer 1

（1）详见解析；（2）存在，且；（3）的长为.

试题分析：（1）以为原点，、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，并设，利用空间向量法证明，从而达到证明；（2）设点，求出 平面，利用平面转化为，利用向量坐标运算求出知，从而确定点的坐标，最终得到的长；（3）设，利用空间向量法求出二面角的余弦值的表达式，再结合二面角为这一条件求出的值，从而确定的长度.
试题解析：（1）以为原点，、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
故，，，，
，；
（2）假设在棱上存在一点，使得平面，此时，
有设平面的法向量为，
平面，，，得，
取，得平面的一个法向量为，
要使平面，只要，即有，由此得，解得，即，
又平面，
存在点，满足平面，此时；
（3）连接、，由长方体及，得，
，，
由（1）知，，由，平面，
是平面的一个法向量，此时，
设与所成的角为，得，
二面角的大小为，
，解得，即的长为.