Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n，
（2）若数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）

n

2n

a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，从而得到

1

an+1

+

1

2

=（

1

a1

+

1

2

）•3^n-1=

3n

2

．由此能求出结果．
（2）由bn=(3n-1)•

n

2n

•

2

3n-1

=n•(

1

2

)n-1，利用裂项求和法求出Tn=4-

n+2

2n-1

，从而得到{T_n}为单调递增数列，由此利用分类讨论思想能求出λ的取值范围．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

，（n∈N^*）
∴

1

an+1

=

an+3

an

=

3

an

+1，
∴

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，
∴

1

an+1

+

1

2

=（

1

a1

+

1

2

）•3^n-1=

3n

2

．
∴a_n=

2

3n-1-1

．（4分）
（2）∵

2

3n-1-1

，b_n=（3ⁿ-1）

n

2n

a_n，
∴bn=(3n-1)•

n

2n

•

2

3n-1

=n•(

1

2

)n-1，
∴Tn=1•1+2•(

1

2

)+3•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1，①

1

2

Tn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n，②
①-②，得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
∴Tn=4-

n+2

2n-1

．（8分），
∵T_n+1-T_n=（4-

n+3

2n

）-（4-

n+2

2n-1

）=

n+1

2n

＞0，
∴{T_n}为单调递增数列，
∵不等式（-1）ⁿλ＜T_n对一切n∈N^*恒成立，
∴①当n为正奇数时，-λ＜T_n对一切正奇数成立，
∴（T_n）_min=T₁=1，∴-λ＜1，∴λ＞-1；
②当n为正偶数时，λ＜T_n对一切正偶数成立，
∵（T_n）_min=T₂=2，∴λ＜2．
综上知-1＜λ＜2．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法和分类讨论思想的合理运用．