Question

已知数列{a_n}是各项不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，n∈N^*，数列{b_n}满足b_n=

1

anan+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求a₁，d和a_n；
（2）求

lim

n→∞

T_n．

Answer 1

考点：数列的极限,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用

a

2 1

=S1=a1，以及等差数列前3项的和，直接求a₁，d和a_n；
（2）通过裂项法求出数列的和，然后利用极限的运算法则求

lim

n→∞

T_n．

解答： 解：（1）

a

2 1

=S1=a1，
∵a₁≠0，
∴a₁=1

a

2 2

=S3=a1+a2+a3，
∴（1+d）²=3+3d，∴d=-1，2，
当d=-1时，a₂=0不满足条件，舍去．
因此d=2，
∴a_n=2n-1，n∈N^*
（2）∵bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，
∴

lim

n→∞

Tn=

1

2

点评：本题考查数列的递推关系式，数列的通项公式以及数列的求和，极限的运算法则，考查计算能力．